[ 통계 ] 상관 계수의 추정과 검정

안녕하세요. 녀기입니다.

 

오늘도 하던 일이나 마저 해 보죠. 습관이 되기 위해서 노력해 봅시다!

 

렛츠 고도리~~

---

목차

1. 개념
2. 적용

---

1. 개념

1. 상관 계수(피어슨) 추정과 검정 : 2변량의 모집단에서 크기 n인 표본 데이터를 추출함. 이 때 모집단의 상관 계수를 ρ, 표본 데이터의 상관 계수를 r이라 정의함

 

추정 : 모집단의 상관 계수 ρ의 95% 신뢰 구간은 다음과 같음

{(e^2a)-1 / (e^2a)+1} ≤ ρ ≤ {(e^2b)-1 / (e^2b)+1} 

 

( 단, a = (1/2)ln{(1+r)/(1-r)} - {1/√(n-3)}*1.96, b = (1/2)ln{(1+r)/(1-r)} + {1/√(n-3)}*1.96 )

 

검정 : ρ = 0일 때, T=r√(n-2) / √(1-r²)  는 자유도 n-2인 t 분포를 따르므로, 이를 이용해 기각역을 정함

 

 

 

구간 추정식에서 정규 분포의 α% 지점으로 변환하면 모상관계수 ρ의 (100-2α)% 신뢰 구간을 만들 수 있습니다.

 

위 식은 95% 신뢰 구간을 구할 때 쓰는, 정규 분포가 2.5%인 지점인 1.96을 이용했습니다.

 

이 신뢰 구간은 피셔 변환 Z = (1/2)ln{(1+r)/(1-r)}를 이용해 정규 분포로 근사할 수 있는 통계량을 만든 후, 95% 신뢰 구간을 역 피셔 변환해 원래대로 되돌려 만듭니다.

 

(책에는 피셔 변환이 자연 로그 대신 상용 로그로 나와 있는데, 자격증 책이나 다른 블로그를 보면 자연 로그로 나와 있어 자연 로그로 써 놨습니다.)

 

 

상관 관계가 있었는지 없는지 여부를 무상관검정으로 확인하실 수 있습니다.

 

귀무가설 H0 : ρ = 0, 대립가설 H1 : ρ ≠ 0이라 할 때 검정 통계량 T를 이용해 검정을 실시합니다.

 

T 값이 기각역에 속할 때는 모상관계수 ρ는 0이 아니므로 모집단에는 상관 계수가 있다고 말할 수 있습니다. 

 

표본에서 상관 계수를 구하더라도 그 값이 확률적인 변동에 불과하다고 생각할 수 있으므로,

 

무상관검정을 통해 모집단에 상관 계수가 있는지 없는지 확인하는 것 입니다.

 

주의해야 할 점은 상관 계수의 강약과 무상관검정의 결과가 반드시 일치하지 않는다는 점 입니다.

 

상관 계수 r = 0.5인 데이터와 r = 0.3인 데이터 중,

 

0.5가 통계적 유의성이 인정되지 못 하고 0.3이 인정될 때가 있습니다.

 

0.5가 강한 상관을 나타내므로 유의성이 높다고 하는 것은 섣부른 판단일 때가 있는 것이지요.

---

2. 적용

1. 특정 업계 대기업 6개 사를 대상으로 영업소 숫자와 매출의 상관 관계를 조사해 0.65라는 상관 계수를 얻었습니다.

 

이 상관계수가 신뢰할 수 있는 것인지(ρ = 0(무상관)인지), T 값을 이용해 검정해 봅시다.

 

T = r√(n-2) / √(1-r²) = 0.65 * √(6-2) / √(1-0.65²) = 1.71

 

자유도가 4인 t 분포의 2.5%인 지점은 2.78이기 때문에, 귀무 가설을 기각할 수 없으므로 무상관입니다.

 

(0.65라는 값은 상관이 있음을 나타낼지도 모르겠으나 표본의 크기가 너무 작고, 애초에 상관이 있는지 통계적으로 유의한 수준에서 말할 수 없는 상태입니다.)

 

 

 

2. 다음 주어진 값은 직물 공장에서 어떤 직물에 대해 물세탁에 의한 신축성 영향을 조사하기 위해, 

 

150점을 골라 세탁 전(x), 세탁 후(y)의 길이를 재어 작성해 얻은 것이다.

 

( x의 분산 = 1072.5, y의 분산 = 919.3, x와 y의 공분산 = 607.6 )

 

 

2-1. 무상관검정을 실시하면

 

T = r√(n-2) / √(1-r²) = 0.612 * √(150-2) / √(1-0.612²) = 9.414

 

( r = (x와 y의 공분산) / √(x의 분산 * y의 분산)  = 0.612 )

 

자유도가 148인 t 분포의 2.5%인 지점은 1.96이기 때문에, 귀무 가설을 기각합니다. 

 

 

2-2. 이 직물 공장에서 ρ = 0.75라고 주장합니다. 검정 통계량을 구하면

 

H0 : ρ = 0.75에서, u = (Zr - Zρ) / {1 / √(n-3)} = -3.163

 

u < -1.96이므로 H0를 기각합니다. (α = 0.05일 때)

---

상관 계수만 고려할 것이 아니라, 무상관 검정을 통해 통계적 유의성까지 확인했어야 했네요ㅋㅋㅋㅋ

 

표본 수가 많아지면 무상관검정의 귀무가설을 기각할 수 있는 것인지는 모르겠지만

 

기회가 된다면 충분히 시도해 볼만 하다고 생각이 듭니다.

 

이번 포스팅은 이정도로 마치고

 

다음 포스팅에서 봬요!!

 

(내용에 오류가 있다면 댓글 달아주시면 보고 맞춰서 수정하겠습니다!)

 

그럼 뿅!