[ 통계 ] Q-Q 플롯(Q-Q Plot)

목차로

 

안녕하세요. 녀기입니다.

 

통계 지식을 정리하는 포스팅....

 

어제 너무 무리였습니다.

 

여러 개념을 한 포스팅에 담다 보니 뭔가 난잡하고

 

막 의욕이 사라지고

 

(내 정신도 시공간 너머로 사라지고...😱)

 

이러면 될 것도 안 되기 때문에

 

짧게 짧게 한 개념씩 가겠습니다.

 

언제나 책의 기준은 예전 포스팅에 있던 책을 기준으로 하며, 품질경영기사의 내용은 보조입니다.

 

(품질은 또 품질만의 기준이 있기 때문이니까요.)

---

목차

1. 개념
2. 적용

---

1. 개념

Q-Q 플롯(Quantile-Quantile Plot) : 2개의 누적 분포 함수 Fx(x)와 Fy(y)에 대해 Fx(x) = Fy(y)를 만족하는 (x, y)를 그린 그래프

 

누적 분포 함수(Cumulative Ditribuation Function) : 랜덤 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률을 나타내는 함수이다. '누적'이라는 이름은 특정 값보다 작은 값들의 확률을 모두 누적해서 구한다는 의미에서 붙여진 이름이다.

출처 : https://elementary-physics.tistory.com/127

F(x) = P(X ≤ x) 로 표현한다.

 

2개의 누적 분포 함수 Fx(x)와 Fy(y)에 대해 Fx(x) = Fy(y)를 만족하는 x, y를 그래프로 그리면 2개의 누적 분포 함수가 얼마나 어긋나는지를 눈으로 확인할 수 있습니다.

 

누적 분포 함수 대신 누적 상대 도수 분포표를 이용하면 2개의 데이터 분포 형태의 어긋남을 표현할 수 있다고 합니다.

 

확률 변수 X와 Y 사이에 Y = aX + b (a > 0)이라는 1차 함수 관계가 있다면 다음 식이 성립합니다.

P(X ≤ x) = P(aX + b ≤ ax + b) = p(Y ≤ y)

 

그러므로 Q-Q 플롯은 직선이 됩니다.

 

즉 X, Y가 모두 정규 분포라면 X와 Y는 1차 함수 관계가 되므로 Q-Q 플롯은 직선이 됩니다.

---

2. 적용

1. X가 정규 분포의 누적 분포 함수일 때는 정규 Q-Q 플롯이라 합니다. 

 

이를 이용하면 Y가 정규 분포와 비교해 어느 정도 어긋났는지 시각화할 수 있습니다.

 

예를 들면, 

Fig 1. Q-Q Plot 예

출처 : https://www.learnbyexample.org/r-quantile-quantile-qq-plot-base-graph/

 

직선에서 어긋난 났다면 정규 분포를 가정한 추정이나 검정을 하면 안 됩니다.

 

Fig 1의 맨 밑 그래프의 경우, Y의 분포가 정규 분포보다 왼쪽 꼬리가 긴 분포이네요.

 

QC에서는 규격품 확인에 정규 분포를 이용합니다.

 

정규 Q-Q 플롯은 공업 제품의 특성값 데이터가 정규 분포가 되는지 확인하는데 도와주죠.

 

직선보다 어긋남이 크다면, 벗어난 값은 제외해야 합니다.

 

 

 

 

2. Python 코드로 Q-Q Plot이 구현 가능합니다.

import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(10,5))    # 그래프 사이즈 지정
stats.probplot(Sample, dist=stats.norm, plot=plt) #Sample은 어느 정도 어긋났는지 비교할 분포,
                                                  #dist는 기준이 되는 분포, 정규 분포가 아니어도 된다.
                                                  #plot은 주로 matplotlib.plt 객체 사용
plt.show()

API reference는

 

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.probplot.html#scipy.stats.probplot

scipy.stats.probplot — SciPy v1.10.1 Manual

위 링크에서 확인하시면 됩니다.